確率仮定の基礎 第6章
ブラウン運動 #斎藤

○定義
・ガウス過程である
・パスが連続なマルコフである(離散ではなく、連続なマルコフ過程)
・独立増分である

ブラウン運動→花粉が連続的に動きまわる様子から着想を得た
独立で微小なランダム効果の集積によって引き起こされる
→中心極限定理により正規分布に収束する

・マルコフ性
・定常独立増分である
→差分が過去の差分よは独立なブラウン運動になる

・マルチンゲール停止規則
ブラウン運動でもマルチンゲールは成り立つ
a.線形マルチンゲール    ←現実の現象としては株の遷移などが該当する
b.2次マルチンゲール
c.指数型マルチンゲール
d.高次マルチンゲール

→時刻s以前の全ての履歴があるときの条件付き期待値は時刻sでの
期待値に等しい

(a,b)からの脱出時刻はa,bの値によって表される

関数形が変化したときも数式をうまく変形していくことでマルチンゲール
が成り立つことを示せる

○離散時間でのオプション価格
オプション価格: 株を売り買いできる権利の価格
オプション価格=c、株価x単位購入、オプションy単位購入するとき
30x+(20-c)y=-10x+(-c)y
→(株価が2期で100円から120円に変化したときの利益=100円から90円に変化したとき)

この式は「株価の変動によらず結果が同じになる」ことを意味する

一般化すると以下の定理が成り立つ
j番目の結果が判明したときi番目の保証に対する利益をai,jとすると次の定理が
成り立つ

(�@)少なくとも一つの株価一つの株価については正の利益を得る
(�A)株価の変動の期待値が0になる→マルチンゲール

○ブラックショールズの公式
条件が与えられたときのコールオプション価格を導くことのできる公式
株価の変動が正規分布に従うという仮定のもとでマルチンゲールの性質を
用いて導出している

議論
・将来的なものの価格を決めることができる→投資すべき金額を決定することができる
・変動が不確実性を含んでいる
・利用券取引も同じ。カーシェアも自分のを貸すと考えるといい
・持ち家をどのタイミングで売るか
・長期的な意思決定で考えると駐車台数を考えれるのではないか
・普通交通の場合だと一台一台の変動は小さいが、クラウドの場合だと株価の
ときと同じように需要になってくる
・ポートの再配置を考えればポートに来る需要の変動があるとき投資の考えかたに
近い。民間から資金を借りて駐車場を借りるとすると同じになる
・ただ満期の概念が分からない。満期になると今までの収益をバックするとかか?
⇔予約の日を満期とすると需要に変化があって当日どの組み合わせがいいかというは
考えられるかも。
・オプションで通行権を買ってという行動が今後考えられる
・サービスレベルは変化しているが、価格は変動していない。駐車場での適応を
考えると到着したときの混雑度によって価格を変動させなくてはいけない。