確率過程基礎　第4章　連続時間マルコフ連鎖 #伊藤

ポアソン過程×マルコフ連鎖のイメージ

・定義
連続時間で推移する確率は今の時間にか依存しない．離散のときと違い"ステップ"
ではない．将来の事象は過去の履歴と無関係というのは離散時間におけるマルコフ
連鎖と同じ．

・定式化
1ステップに定まった時間存在しないので，ある時間経過後に状態がiから
jに推移する確率を導入する．このとき過去の状態に依存しない確率分布
なので指数分布に従う．時間tの間にn回起こる確率×推移行列で与える．

離散のときと同様にチャップマン-コロモゴロフ方程式が成立する

推移率=単位時間当たりに遷移が起こる回数
例)待ち行列の客が去っていく分布

状態iから離れるときの推移率の総和=λとし
i→jへ推移する確率を
推移率/λ(次の状態へ遷移する中でのjへ遷移する割合)として定義

・定常分布
連続時間マルコフ過程が既約で定条分布πが存在するとする
このときπpt=π
が成立(離散時間のときより条件が強くなる)

定常分布ならば
遷移していく量=遷移してくる量が成立

詳細釣り合い条件
k→jに遷移する量=j→kに遷移する量

応用例)

・有限待合室のあるM/M/1待ち行列
詳細つり合い条件からつくった連立方程式から解法を導いた

・M/M/s待ち行列
・M/M/sまち行列が二つあるとき

○閉じた移住過程
条件
・客は新たに加わることも，立ち去ることもない
・他の窓口に移動する

例)工場製造モデル

この閉じた移住過程を応用し，中心市街地の回遊行動について記述している．
状態をリンク間遷移で表す．
滞在をリンクとしてい扱っている．
定常状態
駐車場に一人戻ると他の一人が駐車場を出発する．

議論
・説明変数によって分布が変化し，推移確率が変化する．
・街路の状況が変わったときの過ごし方の変化を表せる?
・立ち寄り行動があるならサイクリック
・打ち切りについては遷移確率をいじることで表現可能
・移動時間についてはばらつきがあるので指数分布を置くのは無理があるかもしれない
・分布を変化させるのは難しいかもしれない
．ポアソン過程で与えられている交通量に対して補修期間を短くすると危険な
割合が分かる?