非協力ゲームの戦略形とナッシュ均衡
非協力ゲームの基本的な要素は次のようにまとめられる。
非協力ゲームの定義
- ゲームの前に拘束力のある合意が不可能なゲーム
基本モデル
- 戦略形ゲーム
- 展開形ゲーム
解の概念
- ナッシュ均衡点
- 支配戦略均衡点
- 部分ゲーム完全均衡点など
戦略の形
- 純戦略(純粋戦略)
- 混合戦略
1.ゲームの基本モデルについて
戦略形ゲーム
プレイヤーの戦略と利得を表現したゲーム。利得行列で記述。※図を挿入。
展開形ゲーム
プレイヤーごとの手番を交互に行うようなゲームを表現できる。ツリー構造で記述。※図を挿入。
2.ゲームの戦略について
戦略形ゲームは次の要素を用いて表現する。
G={ N, S, f}
N:プレイヤーの集合
S:戦略の集合
f:戦略の組における利得関数
純戦略(純粋戦略)
戦略をプレイヤーが1か0かで選択するような戦略を純戦略という。
混合戦略
プレイヤーが戦略をある確率分布に従って選択するその確率のことをプレイヤーによる混合戦略という。
本ページでは主に純戦略について扱う。
支配戦略
プレイヤー1,2による戦略C,Dの２人ゲームがあったときにプレイヤー1にとって、プレイヤー2がどんな戦略をとろうとも、戦略Dを取った方が戦略Cをとったときよりも大きな利得が得られる。このようなとき、戦略Dは戦略Cを支配しているという。
3.パレート最適性について
他人を犠牲にしなければ、ある人の効用をこれ以上上げられない状態をパレート効率的またはパレート最適という。パレート最適はn人プレイヤー全体として考えたときの利得配分についての合理性の概念であり、共同合理性または全体合理性と考えることができる。また、パレート最適は効率性の概念であり、公平性の概念ではない。
4.ゲームの解について
支配戦略均衡
支配戦略均衡とは2人ゲームにおいて、各プレイヤーが支配戦略をもっていて、支配戦略の原理にしたがって、支配戦略を選択したときに得られる戦略の組。
ナッシュ戦略
ナッシュ均衡とは、戦略S*がプレイされるならば、どのプレイヤーも自分だけ戦略を変更する動機をもたないような均衡。ナッシュ均衡は非協力ゲームの標準となる解の概念であるので、詳しくみてみる。
5.ナッシュ均衡について
最適反応原理
相手がある戦略をとったときに、その戦略のもとで自分の利得を最大化するように行動するという行動原理のこと。この行動原理によってとられた戦略を最適反応戦略とよぶ。
均衡点
2人のプレイヤーがともにこの行動原理にしたがい、「2人のとる戦略が互いに相手の戦略の最適反応戦略になっている」ときに、その戦略の組を均衡点という。
ナッシュ均衡点
次の条件をみたすSの点s*=(s1*, s2*)をこのゲームのナッシュ均衡点とよぶ。
f1(s1*, s2*) = max[f1(s1, s2*) : s1∈S1]
f2(s1*, s2*) = max[f1(s1*, s2) : s2∈S2]
ナッシュ均衡点の性質
(1)戦略の交換性と最適性の不成立
ナッシュ均衡点は相手の各戦略に対して最適に反応している戦略の組であり、相手のいかなる戦略に対しても最適であるわけではないため、最適性は満たされない。また、２つの均衡(a, b)(b, a)があったときに各均衡点の均衡戦略を交換した(a, a)(b, b)は均衡点ではない。そのため、交換性は常に成り立つわけではない。
(2)複数の均衡点の意味
・起こりうる可能性を示している
・予備知識がある場合、均衡点のうちより限定され範囲が考えられる
・通報可能な場合、均衡点は外からの強制なしで自立的な安定性をもっている
・何らの予備知識も通報可能性もない場合、確定的な行動を決定できず、とるべき行動は確率的にしか定められないことを意味している
6.ミニマックス均衡点について
２人ゼロサムゲームにおいて、プレイヤーAの利得をaとすると、プレイヤーBの利得は-aである。そこで、プレイヤーAを最大化プレイヤー、プレイヤーBを最小化プレイヤーと考えることができる。
ミニマックス戦略
最大化プレイヤーAの戦略に対する最小化プレイヤーBの最適反応戦略はaを最小化する戦略である。そのような戦略をBの最小化戦略とよぶ
Bが最小化戦略をとるとすると、Aはその中から自身の利得を最大化する戦略をとることができる。このような戦略を最大化プレイヤーAのマックスミニ戦略という。すなわち、マックスミニ戦略はBが最小化戦略をとるという状況において、Aの利得を最大化する戦略である。
一方、最小化プレイヤーBにおいて、Bの戦略に対する最大化プレイヤーAの最適反応戦略はaを最大化する戦略である。これをAの最大化戦略とよぶ
Aが最大化戦略をとるとすると、Bはその中から自身の利得を最小化する戦略をとることができる。このような戦略を最小化プレイヤーBのミニマックス戦略という。すなわち、ミニマックス戦略はAが最大化戦略をとるという状況において、Bの利得を最小化する戦略である。
ミニマックス均衡点
最大化プレイヤーがマックスミニ戦略をとり、最小化プレイヤーがマックスミニ戦略をとる行動原理をまとめて、「ミニマックス原理」とよぶ
ゼロ和２人ゲームのナッシュ均衡点はマックスミニ戦略とミニマックス戦略の組である。このような点をミニマックス均衡点という
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